Title of the talk:  Moduli spaces and integrable systems

Date , Time & Venue: 31 July 2025, 11:00 AM, Seminar Hall, Dept. of Mathematics

सार: हाल ही में, हिग्स बंडलों ने काफ़ी ध्यान आकर्षित किया है। एक बीजीय वक्र पर एक हिग्स बंडल एक मुड़ी हुई एंडोमोर्फिज़्म वाला एक सदिश बंडल होता है, जिसे मोटे तौर पर वक्र पर 1-रूपों के एक आव्यूह के रूप में माना जा सकता है। एक महत्वपूर्ण प्रश्न परिमित क्षेत्रों पर हिग्स बंडलों के समूह के आयतन की गणना करना है। 2014 में, ओ. शिफ़मैन संगत जनक फलन ज्ञात करने में सफल रहे और मोज़्गोवॉय के साथ मिलकर इस कार्य को सदिश बंडलों और शून्य-शक्तिशाली एंडोमोर्फिज़्म के युग्मों की गणना तक सीमित कर दिया। हाल ही में ए. मेलिट द्वारा इसे चिह्नित बिंदुओं पर ध्वजों को संरक्षित रखने वाले शून्य-शक्तिशाली एंडोमोर्फिज़्म वाले सदिश बंडलों के मामले में सामान्यीकृत किया गया था। मेलिट की गणना का एक महत्वपूर्ण हिस्सा P1 और 2 चिह्नित बिंदुओं की गिनती है जो उन्हें मैकडोनाल्ड बहुपदों के साथ संबंधित जनरेटिंग फ़ंक्शन को जोड़ने की अनुमति देता है। मेलिट की गणनाओं को मनमाने रिडक्टिव समूहों में सामान्यीकृत करना एक स्वाभाविक और महत्वपूर्ण प्रश्न है। इस वार्ता में, मैं P1 के मामले में शून्य-शक्तिशाली खंडों वाले प्रमुख G-बंडलों और एक मनमाना विभाजित रिडक्टिव समूह G के लिए दो बिंदुओं की गिनती के सामान्यीकरण पर चर्चा करके शुरू करूंगा और दिखाऊंगा कि हमें इस मामले में एक स्पष्ट सूत्र मिलता है। उसके बाद, मैं अपनी अन्य पूरी की गई परियोजनाओं का सारांश दूंगा: शून्य-शक्तिशाली समूहों की चरित्र किस्मों के मिश्रित हॉज बहुपदों के स्पष्ट सूत्र (आर। ली के साथ संयुक्त कार्य) और क्यूक्यू-प्रणालियाँ और उष्णकटिबंधीय ज्यामिति (ए। ज़ेटलिन के साथ संयुक्त कार्य)। इसके बाद मैं उन परियोजनाओं का ज़िक्र करूँगा जिन पर मैं वर्तमान में काम कर रहा हूँ: क्विवर अभ्यावेदन के मॉड्यूली स्पेस के प्रेरक वर्ग (आर. ली, एस. मोज़गोवॉय और एम. रीनेके के साथ संयुक्त कार्य) और एक औपचारिक पंचर डिस्क पर क्यू-ऑपर (आर. कश्यप और डी. सेज के साथ संयुक्त कार्य)। अंत में, मैं उन परियोजनाओं का ज़िक्र करूँगा जिन पर मैं आने वाले भविष्य में काम करने की योजना बना रहा हूँ।

वक्ता के बारे में: डॉ. राहुल सिंह ने 2022 में पिट्सबर्ग विश्वविद्यालय से अपनी पीएचडी पूरी की। उनके शोध क्षेत्र बीजीय ज्यामिति, अभ्यावेदन सिद्धांत और समाकलनीय प्रणालियाँ हैं। लुइसियाना स्टेट यूनिवर्सिटी, अमेरिका (अगस्त 2022 - मई 2025) से अपनी पोस्टडॉक्टरल डिग्री पूरी करने के बाद, वह अगस्त 2025 में वाईएमएससी, सिंघुआ विश्वविद्यालय में पोस्टडॉक्टरल के रूप में शामिल होंगे।